Geometria Proyección ortogonal, traslaciones, rotación y simetría axial.

 El blog estará compuesto por los siguientes temas respecto a la geometría:

Proyecciones Ortogonales:

Proyección ortogonal de un punto sobre una recta.

Proyección ortogonal de una línea sobre una recta.

Casos particulares de la proyección ortogonal.

Traslaciones

Transformaciones en el plano.

Traslación.

Calculo de las coordenadas de la imagen de un punto según una traslación.

Traslación de un segmento.

Traslación de un ángulo.

Traslación de un polígono.

Traslación de una circunferencia

Composición de traslaciones

Rotaciones

Los movimientos rotatorios.

Ángulos dirigidos.

Rotación en el plano.

Simetría central.

Rotación de segmentos.

Rotación de un polígono.

Rotación de un polígono en el plano cartesiano.

Determinación del centro de rotación.

Simetría axial 

Simetría.

Simetría axial. 

Imagen simétrica de un segmento.

Imagen simétrica de un polígono y de una circunferencia respecto a un eje de simetría.

A continuación se desarrollarán los puntos anteriores:

PROYECCIONES ORTOGONALES

Proyección ortogonal de un punto sobre una recta:

La sombra que produce un objeto o figura depende de la ubicación del reflector de luz que incide sobre este. Ejm: Podemos observar que la sombra que produce un objeto en distintos momentos del día es diferente. Por ejemplo, en la mañana el sol se encuentra a la derecha (al este) y por lo tanto la sombra del objeto producida por el sol estará a la izquierda. Al mediodía, los rayos del sol serán producidos perpendicularmente u ortogonalmente sobre el suelo, para lo cual la sombra estará debajo del objeto; la sombra formada por un objeto durante el mediodía es la proyección ortogonal del objeto sobre el piso, ya que los rayos solares inciden de forma perpendicular. Por la tarde, el sol se encontrará a la izquierda (al oeste) y la sombra se formará a la derecha.

Proyección ortogonal de una línea sobre una recta:

Para establecer una proyección ortogonal de un punto A a un punto B de una recta se deben encontrar las proyecciones ortogonales de su origen y su extremo. El segmento que determine estas proyecciones será la proyección de la línea original.

Recuerda: Dos rectas perpendiculares entre si son las que forman un ángulo de 90°. Ejm: En esta imagen las rectas M y N son perpendiculares.

Casos particulares de la proyección ortogonal: 

Proyección de un punto sobre una recta: 

La proyección ortogonal de un punto es P. Ejem: 

Proyección de un segmento sobre una recta: 

La proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es la unión de todas las proyecciones ortogonales de cada uno de los puntos de "l" sobre la recta. Ejem: 

Proyección de una figura en una recta: 

La proyección de figuras bidimensionales tiene dos dimensiones: ancho y largo, por lo cual origina proyecciones en una sola dimensión. La proyecciones de cuerpos tienes tres dimensiones: largo, ancho y alto, y por lo tanto son figuras planas, tal como pasa con la sombra de una figura iluminada por algún foco luminoso o por el sol. Ejem: 

TRASLACIONES:

Traslación es cuando un objeto o una forma se mueve de un punto A a un punto B sin cambiar más nada que su ubicación causando una transformación en el plano.

Transformaciones en el plano:

Cuando un objeto tridimensional se mueve desde un punto a otro, se deduce que hace una transformación en el espacio; pero si se trata de una figura bidimensional trasladándose de un punto a otro, es una transformación en el plano. Una transformación en el plano es una función inyectiva, es decir, que cumple con que dos puntos distintos tienen imágenes distintas. Ejem: Un carro moviéndose de un lado a otro.

Traslación:

Según un vector dado, y mediante una traslación, podemos encontrar la imagen de cualquier punto., cuyo origen sea el punto. Ejem:

Si se quiere hallar la imagen de un punto P mediante una traslación por el vector U.

1.- Primero se traza un vector equipolente a U cuyo origen sea el punto P.

2.- Se marcaría el punto P´ que es la imagen de P.

Traslaciones en el plano cartesiano:

Traslaciones en el plano cartesiano, también llamado traslaciones en un sistema de ejes coordenados, es un caso de traslaciones en donde se deben señalar las coordenadas del vector de traslación, las cuales son un par ordenado de números (x , y) donde (x) representa el desplazamiento horizontal e (y) el desplazamiento vertical. Ejem:

Cálculo de las coordenadas de la imagen de un punto según una traslación:

Se usa la propiedad que indica que los componentes de dos vectores equipolentes son iguales para obtener las coordenadas de un punto. Las coordenadas del punto son imagen de otro dado mediante un vector de traslación. 

Traslación de un segmento:

A través de un vector la imagen de un segmento se puede determinar, mediante un vector de traslación hallando las imágenes de los extremos del segmento. Ejem: Para calcular el transformado de un segmento, basta calcular los transformados de los extremos y unirlos.

Traslación de un ángulo:

Para determinar la imagen de un ángulo por una traslación, se hallan las imágenes del vértice y luego las imágenes de las semirrectas que conforman el ángulo. Ej: Un ángulo viene dado por la intersección de dos rectas en un determinado punto, por consiguiente, para calcular el transformado del ángulo bastará con calcular las transformaciones de las rectas y así obtendremos la transformación del ángulo

Traslación de un polígono:

Para determinar la imagen de un polígono mediante una traslación, se encuentran la imagen de cada uno de los lados que conforman el polígono, para el cual se halla la imagen de los vértices que lo forman, después se trazan los lados respectivos. Ejm: Con la traslación aplicada al segmento ABC a través de V es:  

Los segmentos ABC y A´B´C´ son de igual medida y paralelos entre sí.

Traslación de una circunferencia:

Para encontrar la imagen de una circunferencia de centro O y radio X, se determina la imagen del centro O mediante un vector de traslación U. La imagen de un punto cualquiera de la circunferencia (Z, por ejemplo) y su imagen (Z´). Ya que X= OZ=O´Z´, trazamos la circunferencia de centro O´ y radio O´Z´. La imagen de la primera circunferencia es la de centro O´ y del mismo radio X.

Composición de traslaciones:

Resulta de aplicar una traslación a otra traslación anterior realizada. Ejem:

ROTACIONES

Los movimientos rotatorios:

Distintos objetos artificiales o naturales que encontramos en nuestro día a día, realizan movimientos rotatorios, ya sea en su mismo eje o alrededor de otro. Ejem: La luna, un reloj, etc. 

Ángulos dirigidos:

Con cada movimiento de rotación un ángulo es generado. Ejem: Cuando observamos un reloj podemos ver que el recorrido del minutero, al realizar el movimiento de rotación desde el numero doce hasta el numero diez, el lado del ángulo en la posición del doce es el lado inicial y el lado del ángulo en el numero diez es el lado final, el cual se le llama ángulo dirigido.

Angulo dirigido: Tiene un lado inicial y un lado final. El ángulo dirigido es positivo si gira en sentido contrario a las agujas del reloj y es negativo si gira en sentido a las agujas del reloj.

Rotación en el plano:

El método de rotación o giro, consiste en dar vueltas al objeto que se estudia (punto, recta, plano, etc) un determinado ángulo (a) alrededor de un eje de rotación, el cual es una recta vertical (v), ó de punta (p).

 En la figura numero 1-a, se representa la rotación de un punto (A), hasta la posición (A1), alrededor de un eje vertical (v).También se puede observar que cuando los puntos rotan por un eje vertical (v) recorren arcos de circunferencia paralelos al plano de proyección horizontal, mientras que si la rotación se produce por un eje de punta (p). y en la figura 1-b, se representa la rotación de un punto (A) alrededor de un eje de punta (p). Se observa que los arcos de circunferencia recorridos son paralelos al plano vertical de proyección.

Simetría central.

Es una rotación de 180° de amplitud.  Ejem: La simetría central pasa cuando cada parte tiene otra que le corresponde a la misma distancia del punto central, pero en la dirección contraria. 

La simetría central a veces se llama simetría con respecto al origen, porque el "origen" es el punto central alrededor del que hay simetría.

Rotación de segmentos:

Es la imagen de un segmento hallando la imagen de los puntos de sus extremos. Traslaciones y giros se conocen como movimientos directos por conservar la orientación de la figuras.  Ejem:  Una traslación de vector AA´ y un giro de centro P y ángulo 90º.

Rotación de un polígono:

Para determinar la imagen de un polígono se debe hallar la imagen de cada uno de sus vértices bajo la rotación. Luego uniendo los vértices que se encuentren. Ejem: Un cubo de Rubik tiene un centro de rotación que permite girar las caras del cubo en cualquier dirección.

Rotación de un polígono en el plano cartesiano:

Se debe determinar la imagen de cada vértice y hallar las coordenadas de estos de la imagen del polígono original para hallar la imagen de un polígono en el plano cartesiano bajo una rotación. Ejem:

Determinación del centro de rotación:

Para calcular el movimiento que realizar un objeto es beneficiario conocer su centro de rotación. Se deben trazar segmentos que unan dos extremos o vértices y con las mediatrices de esos segmentos se encuentra el centro de rotación para determinarlo en un segmento o polígono. Ejem: Para que una rueda pueda estabilizarse a la perfección, el eje de la rueda debe estar justo en el centro de rotación.

SIMETRÍA AXIAL

Simetría:

Es cuando la mitad del objeto parece ser una reflexión de otra mitad. Un buen ejemplo de este son las alas que poseen algunas mariposas.

Simetría axial:

La simetría axial es uno de los varios tipos de simetría.  Es una transformación del espacio o del  plano en donde a cada punto (X) se asocia a otro punto (X´) llamado imagen de X de manera que X y X´ están a la misma distancia de un eje de simetría, y del segmento XX´ es perpendicular a dicho eje. 

Imagen simétrica de un segmento:

La imagen simétrica de un segmento dado un eje de simetría, se determina hallando la imagen de cada extremo del segmento, luego se traza el segmento que une ambas imágenes. Ejem:

Imagen simétrica de un polígono y de una circunferencia respecto a un eje de simetría:

La imagen simétrica de un polígono respecto a un eje de simetría se parece a la imagen de un objeto reflejado en el espejo. Ejem: Se demuestra en la imagen que los polígonos tienen la misma forma, solo que uno de ellos está al revés, ya que es la imagen simétrica.

En tanto a la imagen simétrica de una circunferencia se halla la imagen simétrica de su centro con respecto al eje y luego con el mismo radio, se dibuja la nueva circunferencia, lo que daría el resultado de la imagen simétrica de una circunferencia. Ejem:

Elaborado por: Camila Lucena y Frainaly ruiz.